无寄生运动3-DOF 2T1R并联机构拓扑设计与分析

两平移一转动(2T1R)空间并联机构因其精度和灵活性较好,被广泛应用于装配、搬运和加工等场景中[1-4]。含冗余支链的并联机构可较好地避免奇异位置、稳定性高,具有较好的机构容错能力[5-10];同时,动平台输出无寄生运动有利于并联机构运动学、动力学分析[11-13]。

余顺年等[14]分析了一种2T1R并联机构,求得该机构运动学正反解的封闭解,并分析了工作空间内点转动能力;林浩等[15]根据基于方位特征集的并联机构拓扑设计理论与方法,综合出一批移动副为驱动的适用于铺盘调节机构的2T1R并联铺盘机构,它们具有符号式位置正解且部分运动解耦。覃才友等[16]分析了一种闭环支链冗余并联机构整体运动学性能,表明冗余支链虽会减小机构工作空间,但会提高机构整体结构刚度;TIAN等[17]设计了一种含中间变形肢的3-RPS/(H)并联机构,比单纯的3-RPS机构灵敏度和灵巧性高,但含有寄生运动,给分析、设计与标定带来困难。

上述机构中,同时具有冗余支链且无寄生运动的3-DOF 2T1R并联机构还较少。

目前,动力学模型建立方法主要有Lagrange法、Newton-Euler法、虚功原理法[18-21],其中,虚功原理法相较前两种方法过程更为简单和高效。李永泉等[22]针对一种空间被动过约束并联机构,采用牛顿欧拉法结合补充变形协调方程对其进行动力学建模分析;高洪等[23]基于刚体动力学牛顿-欧拉法建立了6-PSS并联机构逆运动学模型,比较空载和有载条件下算例仿真,验证了其模型的正确性。

本文基于方位特征(Position and orientation characteristics,POC)方程的并联机构设计理论,设计全由低副组成、含冗余支链但无寄生运动的3-DOF 2T1R并联机构,并对该机构进行动力学分析计算,以期为其后续的性能优化、结构设计和样机研制提供依据。

1 机构拓扑设计与分析

1.1 机构设计

本文设计一种3自由度2T1R机构,如图1所示,它由静平台0、动平台1以及连接两者的混合支链Ⅰ、Ⅱ组成,混合支链Ⅰ包含一个由分支链A(P1⊥R11‖R12)、分支链B(P2‖R21‖R22‖R23)并联组成的子并联机构1,R23的轴线经过且垂直于R12的轴线;又在其输出杆2末端串联连接轴线相互平行的R13、R14,且使R13(⊥R23)⊥R12,R14连接动平台1的一端;混合支链Ⅱ包含一个由分支链C(P3⊥R31‖R32)、冗余支链D(P4⊥R41‖R42)并联组成的子并联机构2,又在其输出杆3的末端串联连接R33,且用R33连接动平台1的另一端。

进一步,混合支链Ⅰ中的移动副P1、P2,以及混合支链Ⅱ中的移动副P3、P4分别位于两根平行于y轴的导轨上,动平台1上的转动副R14、R33轴线平行。

1.2 机构拓扑

1.2.1 机构POC集设计

串、并联机构POC方程[24]分别为

式中 MJi——第i个运动副的POC集

Mbi——第i条支链末端的POC集

MPa——机构动平台的POC集

选定动平台1上R33轴线上任意一点为基点O′。

混合支链Ⅰ中,子并联机构1的中间杆2输出运动为两平移(2T);与R13‖R14串联后,其末端输出为三平移一转动(3T1R)。

混合支链Ⅱ中,子并联机构2的中间杆3输出运动为两平移一转动(2T1R),串联R33后,末端输出为两平移两转动(2T2R)。

因此,混合支链Ⅰ、Ⅱ末端构件的POC集由式(1)、(2)可得

因此,动平台POC集由式(2)得

由式(3)知,机构动平台1具有YOZ平面内两维移动以及绕转动副R14轴线转动的特性,可见其无寄生运动。

并联机构非瞬时自由度计算式[24]为

式中 F——机构自由度

fi——第i个运动副自由度

ν——独立回路数

ξLj——第j个独立回路独立位移方程数

前j条支链组成的子并联机构POC集

Mb(j+1)——第j+1条支链末端构件POC集

第1回路为混合支链Ⅰ中的子并联机构,即

其独立位移方程数ξL1可由式(5)求得

第2回路(即第2子并联机构)由上述混合支链(含第1个子并联机构、子串R13‖R14‖R33)及分支链C(P3⊥R31‖R32)组成,即

其独立位移方程数ξL2可由式(5)求得

第3回路由上述第2个子并联机构和分支链D组成,其独立位移方程数ξL3为

由式(4)可得机构自由度为

因此,该机构自由度为3, 当取静平台0上的移动副P1、P2、P3为驱动副时,机构动平台1可实现YOZ面内两维平移和绕R14轴线的转动输出,无寄生运动。

1.2.3 耦合度κ计算

由基于序单开链(SOC)单元的机构组成原理知,一个机构可分解为若干个最小子运动链(Sub-kinematic chain, SKC);而一个SKC又可分解为若干个单开链,第j个单开链SOCj的约束度定义[25]为

式中 mj——第j个SOCj运动副数量

fi——第i个运动副自由度

Ij——第j个SOCj驱动副数量

上述3个回路约束度由式(6)分别计算得

由SKC判定准则可知,该机构由3个SKC组成,由式(7)分别求得耦合度为

该机构耦合度为零,可求得符号式位置正解。

进一步,该机构拓扑结构解析表示为[25]

另外,动平台y、z轴向位置仅由P1、P2确定,而绕R14轴线转角则由P1、P2、P3确定。因此,该机构具有部分运动解耦性,运动控制容易。

2 位置正反解

机构运动学建模如图2所示,设静平台0两导轨间距为2a,动平台E1F1长度为b,且lAiBi=l1(i=1,2,3,4),lB1C1=l2,lB2C2=lC2D2=l3,lB3C3=lB4C4=l4,lC1D1=lD1D2=lC3D3=lD3C4=l5,lD1E1=lD3E3=l6,lE1F1=l7。

取两导轨平行线之平分线上一个定点为静坐标系原点,建立笛卡尔静坐标系Oxyz,动平台1上基点E3作为动坐标系原点O′,x′、y′轴分别重合、垂直E3F1,z′轴由右手定则确定。

2.1 位置正解

机构位置正解为:已知静平台上3个点Ai(i=1,2,3)的移动位置yA1、yA2、yA3,求动平台1上O′点的坐标(x,y,z)及姿态角β。

在静坐标系中,易知

A1=(a,yA1,0) A2=(a,yA2,0) A3=(a,yA3,0)
B1=(a,yA1,l1) B2=(a,yA2,l1) B3=(a,yA3,l1)
D2=(a,yA2,z-l6) C1=(a,yA2+2l5,z-l6)

由杆长约束条件lB1C1=l2,解得

由拓扑约束易知:yD3=yE3,可求得

设B3C3与y轴负向夹角为α,可得点C3、D3坐标为

由拓扑分析zD3=zE3+l6,可解得α为

对于姿态角β,结合点E1、F1、F3在xOy面内的坐标,可得方程组

至此,动平台1上点O′坐标(x,y,z)及姿态角β已全部解出,且有

由式(14)可知,该机构不仅有符号式位置正解,而且具有部分运动解耦性,即输出端点O′的y值仅由输入量yA3决定,z值仅由yA1、yA2决定,β由yA1、yA2、yA3共同确定。

2.2 位置逆解

机构位置逆解为:已知动平台1上点O′坐标(x,y,z)及姿态角β,求静平台上3个点Ai(i=1,2,3)移动位置yA1、yA2、yA3。

至此,机构位置逆解yA1、yA2、yA3已解出。

2.3 正逆解数值验算

设机构尺寸参数为:a=60 mm,b=100 mm,l1=20 mm,l2=l3=l4=50 mm,l5=37.5 mm,l6=20 mm,l7=60 mm。

根据上述尺寸参数,从该并联机构3D模型中测量得3个驱动副P1、P2、P3的输入值分别为yA1=26.84 mm、yA2=-67.84 mm、yA3=56.75 mm,将此代入正解式(14),利用Matlab软件编程,得到4组位置实数正解,如下:①y=-0.430 0 mm,z=85.964 1 mm,β=0.825 5 rad。②y=-0.430 0 mm,z=-5.964 1 mm,β=0.825 5 rad。③y=-0.430 0 mm,z=-5.964 1 mm,β=1.827 5 rad。④y=-0.430 0 mm,z=85.964 1 mm,β=1.827 5 rad。

由Solidworks三维模型知,第①组数据符合实际构型,故将第①组正解代入式(15)～(17),得到2组反解输入值为:①yA1=26.839 8 mm,yA2=-67.840 1 mm,yA3=56.750 0 mm。②yA1=-12.520 1 mm,yA2=-67.840 1 mm,yA3=56.750 0 mm。

易知,第①组反解结果与3个输入测量值一致。进一步,设3个驱动副运动规律分别为yA1=30sint,yA2=20sint,yA3=30sin2t,得到该机构动平台基点O′在时间t=10 s内,y、z向位移理论与仿真值曲线一致,如图3a所示;以及姿态角β的理论与仿真曲线一致,如图3b所示,因此,验证了正解公式和反解公式的正确性。

2.4 速度、加速度

设机构基点输出速度

驱动副输入速度

则对杆长约束条件lB1C1=l2,式(10)、(12)的位置方程全微分后可表示为

f21=2(y-yA2-bcosβ-l5) f22=0

f23=2bcosβ(bsinβ-2a)-2bsinβ(yA2-y+bcosβ+l5)

g11=2(yA1-yA2-2l5) g12=2(yA2-yA1+2l5)
g13=0 g21=0
g22=2(yA2-y+bcosβ+l5) g23=0
g31=0 g32=0 g33=1

机构非奇异时,Jo可逆,由式(18)可得

对式(19)中时间t求导可得

利用Matlab软件对式(19)、(20)编程,以及ADAMS软件生成虚拟样机,可得到动平台基点速度、加速度(略),已验证一致。其中,驱动副运动规律同2.3节。

3 奇异性和工作空间

3.1 奇异性

根据矩阵Jo和Ji是否奇异,将机构奇异分为3种类型:当det(Ji)=0时,机构发生输入奇异;当det(Jo)=0时,机构发生输出奇异;当det(Jo)=det(Ji)=0时,机构发生综合奇异。

当det(Ji)=0时,机构发生输入奇异,因为Ji为上三角矩阵,故有2种情况:

①

即点A1与A2的y=75.0 mm,如图4a所示。

②

即点F1与A2的y=37.5 mm,如图4b所示。

当机构发生输入奇异时,意味着每条支链靠近驱动副杆的被动杆与驱动杆,这两杆处于共线或平行状态,此时,动平台自由度数减少,运动失控。

当det(Jo)=0时,机构发生输出奇异,根据Jo矩阵特性,有2种情况:

①

即基点的z=40 mm。

②

即姿态角满足β=

时,机构发生输出奇异。

当det(Jo)=det(Ji)=0时,机构发生综合奇异,即f12=g22=0,此时,基点z=40.0 mm且F1与点A2的y=37.5 mm。

3.2 工作空间

利用位置正解求解机构的可达工作空间的方法,具有计算量少、边界准确等优点[14],其步骤是:先预设驱动副输入范围,取:-50 mm≤yA1≤80 mm,-100 mm≤yA2≤10 mm,0≤yA3≤100 mm;再通过Matlab编程求解满足所有约束条件的点,并将这些点绘成三维图,即为动平台质心处工作空间,如图5a所示。进一步,分别选取x=-60 mm、y=80 mm、z=50 mm,得到3个截面图如图5b～5d,表明:①该机构具有连续、规则的工作空间。②在设定驱动副输入范围下,工作空间x轴方向范围为[-110 mm, -10 mm],y轴方向范围为[-140 mm, 60 mm],z轴方向范围为[40 mm, 90 mm]。

4 机构动力学

4.1 各杆件速度和加速度

动平台1质心速度和加速度为

动平台角速度和角加速度为

点E3和点F1速度和加速度可由速度、加速度合成定理逐步求得。

机构中其余构件速度和加速度与上述类似,在此从略。

4.2 机构动力学建模

4.2.1 动力学建模方法

基于虚功原理的序单开链法对自由度为f、广义速度为

的机械系统,基于单开链(SOC)的机构组成原理,将其分解为若干个子运动链(SKC),而每一个子运动链又可拓扑分解为若干个单开链

假定解除原系统若干个运动副的k个约束后,解除的运动副支反力将转换为作用在新系统构件上的未知力。相应新系统增加的广义速度记作

按照上述拓扑结构分解的逆序,对单开链进行动力学分析,由单开链之间的约束关系和虚功原理可知:在理想约束下,外力(矩)和惯性力(矩)在机械系统的任何虚位移上的元功之和等于零,即可建立各SKC的动力学分析方程。

该并联机构由3个零耦合度的SKC组成,其中SKC3为冗余支链,可分别在SKC1、SKC2内对各杆件进行受力分析,具体如下:

(1)SKC2内各杆件受力分析

对移动滑块A3B3有

式中 mA3B3——滑块A3B3质量

fA3B3——滑块A3B3上驱动力

式中 mB3C3——滑块B3C3质量

IB3C3——杆B3C3相对于Oxyz坐标系的惯量矩阵

取动平台的质心为点p,则

式中 fp、τp——所受的外力和外力矩

mp——动平台质量 g——重力加速度

ω1、ε1——动平台角速度和角加速度

Ip——动平台相对于坐标系Oxyz的惯量矩阵

式中 mE1F1——滑块E1F1质量

IE1F1——杆E1F1相对于Oxyz坐标系惯量矩阵

(2)SKC1内各杆件受力分析

由于杆件D2D1、D1C1、D1E1均在yOz面内运动,且无转动,故将三者看作1根杆D2C1,可得

式中 mB1C1——滑块B1C1质量

IB1C1——杆B1C1相对于Oxyz坐标系的惯量矩阵

式中 mB2C2——滑块B2C2质量

IB2C2——杆B2C2相对于Oxyz坐标系的惯量矩阵

式中 mC2D2——滑块C2D2质量

IC2D2——杆C2D2相对于Oxyz坐标系的惯量矩阵

对驱动滑块AiBi(i=1,2)有

式中 mAiBi——滑块AiBi质量

fAiBi——滑块AiBi上驱动力

4.2.3 动力学方程建立

解除运动副R13(点E)的约束,得到SKC1、SKC2两个子系统,则支反力FE转换为作用在该两个子系统构件上的未知外力。基于虚功原理的序单开链法,分别在两个子系统中建立动力学方程。

SKC2动力学方程为

SKC1动力学方程为

δXBiCi=JvBiCiδq (i=1,2,3)
δθBiCi=JωCiBiδq δXC2D2=JvC2D2δq
δθC2D2=JωD2C2δq δXD2C1=JvD2C1δq
δXC4C3=JvC4C3δq δXE1F1=JvE1F1δq
δθE1F1=JωF1E1δq δXp=Jvpδq δθp=Jωpδq

式中 FE——支反力

4.3 驱动力计算实例

设机构中各杆件质量分别为mAiBi=1.517 5 kg,mB1C1=0.825 3 kg,mB2C2=0.825 3 kg,mC2D2=0.973 5 kg,mD2C1=1.354 5 kg,mB3C3=0.825 3 kg,mC3D3=1.519 3 kg,mE1F1=1.099 2 kg,mE3F1=10.948 3 kg(含动平台自重以及外加5 kg负载)。杆件转动惯量如表1所示。

4.3.2 驱动力求解

使用上述参数,利用Matlab对上述动力方程进行编程,驱动副输入规律同2.3节,可得到驱动力理论曲线,如图6a所示。

同样,对ADAMS建立的虚拟样机进行仿真,可得到驱动副驱动力的仿真曲线如图6b所示。可拟合近似得到驱动力随时间变化的函数为

F1(t)=79.33sin(0.14t-2.24)+49.13sin(0.96t-2.97)
F2(t)=79.47sin(0.14t+0.90)+49sin(0.96t+0.17)
F3(t)=1.66sin(2.01t-3.17)+0.18sin(3.02t-1.78)

经比较发现:3个驱动力理论值和仿真值吻合,误差在1.6%左右,因此,认为动力学模型正确。

由图6可知,3个滑块所需最大驱动力分别为124.056 7、123.9、1.5 N,为驱动电机选择奠定了技术基础。

解除点E的约束后,支反力FE转换为未知外力,根据式(23)、(24)可得到点E处z向支反力理论值与仿真值曲线,如图7所示。

对比点E处z方向支反力理论值和仿真值可知,两者误差为2.2%左右,较为合理。

5 机构应用概念设计

军事训练需用射击靶,固定靶存在的缺点是:①位置和姿态恒定,不能充分展示射击者应对不同目标的能力。②限制射击者对目标追踪和命中能力的锻炼。因本文设计的2T1R机构可同时变化位置和姿态,适应射击靶训练要求机构运动准确、所需位置和姿态的快速变化需求,而对所承受负载以及机构自身刚度要求不大。因此,满足军事远程训练的射击活动靶的需求,其概念设计如下:

2根平行导轨固定在远处(野外或室内的支撑壁上),靶标固定放置在动平台上,该机构整体在3个驱动副运动下成为活动靶,士兵在一定距离外进行远程打靶。

该活动靶具有的优势为:①可在导轨方向长距离移动,适用于多组人员在不同的地点进行训练,以提高训练的人数与效率,降低训练成本。②可提供靠近或远离方向的移动,以及姿态角的变化,可提高官兵射击的训练难度、分等级训练,以及训练的实效。

图8展示了正视角下该活动靶在2个平行导轨上的任意3个位置,红色虚线为机构被人形靶遮住部分,红色为该装置组成部分,蓝色箭头注明了正视角下靶牌运动变化,包括:沿导轨左右方向移动(a);沿垂直于导轨的靠近或远离方向移动(b);机构动平台姿态角变化运动(c)。

6 结论

(1)该机构设计与制造方便、刚度好;耦合度为零,具有符号式位置正解,以及部分运动解耦性,这些特性有利于机构实时控制和运动轨迹规划。

(2)基于拓扑特征的运动学建模方法,得到了该机构速度、加速度,分析了其奇异性及工作空间等特性。

(3)基于虚功原理的序单开链法,建立动力学模型,得到3个驱动副所需的驱动力,及其2个SKC连接处的支反力,并利用ADAMS仿真,验证了该动力学模型的正确性。

(4)提出了该机构用于军事远程训练射击活动靶的概念设计场景,对提高射击训练方式和实效具有启发意义。

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